Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Из множителей корни ровно не извлекаются. Степень с отрицательным показателем. А как из двойки корень сделать? Опять на множители раскладывать? Полезная вещь первая. Убедитесь, что корни имеют одинаковый показатель (степень). Хотя бы и уголком. И все эти возможностивытекают из одной небольшого свойства корней. Перемножьте все члены между собой, включая множители перед корнями и подкоренные выражения.

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Начнём с самой простой. Напоминаю (из предыдущего урока): а и b — неотрицательные числа! Иначе формула смысла не имеет…

Прямо по формуле. Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного… А вот как вам такой пример? А из результата — отлично! Уже лучше, правда? На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней — тоже понятно. Да тоже не вопрос! Конечно, расписывать так подробно нужды нет. Разве что, для начала…

Но — не забывайте! Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Безо всякого их вычисления и калькулятора! Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите. Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей…

Как внести число под корень?

Ту, что я чуть выше написал. У нас огромное число 6561 и всё… Да, произведения здесь нет. Но если нам надо — мы его сделаем! Разложим это число на множители.

Признаки делимости забыли!? Зря. Идите в Особый раздел 555, тема «Дроби», там они есть. На 3 и на 9 делится это число. Потому, что сумма цифр (6+5+6+1=18) делится на эти числа. Это один из признаков делимости. На три нам делить ни к чему (сейчас поймёте, почему), а вот на 9 поделим. Получим 729. Вот мы и нашли два множителя! Первый — девятка (это мы сами выбрали), а второй — 729 (такой уж получился). Улавливаете идею? С числом 729 поступим аналогично.

Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно. Так можно поступать с любыми большими числами. Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались? Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт! Но не обязательно. Может и не повезти. Ну и ладно. Всё равно мы упростили выражение.

В процессе решения все зависит от примера (может и без упрощения всё посокращается), а вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся. Мы вынесли множители из-под знака корня! Вот так называется эта операция.

Как извлекать корни из больших чисел?

Легко. Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются. Ничего сверхъестественного. Важно правильно выбрать множители. Ничего страшного. Как видим, всё получилось. Это, кстати, не самый быстрый, но самый надёжный способ. Раскладывать число на самые маленькие множители, а затем собирать в кучки одинаковые.

Метод 2 из 3: Умножение корней с множителями

Перемножать всё — сумасшедшее число получится! Вот и всё. Конечно, раскладывать до упора не обязательно. Всё определяется вашими личными способностями. Довели пример до состояния, когда вам всё ясно, значит, можно уже считать.

Без калькулятора! В некоторых случаях вы можете упростить подкоренное выражение, например, найдя множитель числа 200, из которого можно взять корень 6 степени. Да очень просто. Здесь мы разложили 72 как 36·2. И всё получилось удачно.

Читайте еще:

И еще интересно: